11 SETTEMBRE 2001, TEOREMA DI BAYES E AFFIDABILITÀ DEI SISTEMI

Vorrei commemorare l’11 settembre di quest’anno in modo un po’ particolare, mettendo insieme gli argomenti citati nel titolo in un post che definirei “ostico”. I miei tre lettori sono tuttavia abituati a ben altro… armiamoci quindi di pazienza e partiamo.

Preliminarmente facciamo una breve digressione.

Su Manhattan, prima dell’11 settembre 2001, solo due volte degli aeromobili colpirono grattacieli. In un caso, peraltro, l’impatto ebbe luogo coinvolgendo gli ultimi piani dell’Empire State Building. Si annota che gli aeroplani cominciarono a sorvolare New York a partire dalla metà degli anni ’30 (circa 25000 giorni fino al 2001).

Detto in altri termini, la probabilità giornaliera non condizionata di un impatto accidentale di un aeroplano (Accidental Plane Crash, APC) su un grattacielo di Manhattan, prima dell’11 settembre, era valutabile non inferiore a [1]:

P(APC) = 2/25000 = 0,00008 = 0,008%

Prima dell’11 settembre 2001, peraltro, la stima di un attacco aereo sulla città con le modalità immaginate da Al Qaida era, verosimilmente, molto bassa. Bassa al limite della credibilità certo, ma comunque leggermente superiore all’ipotesi accidentale. La chiameremo Terrorist Plane Attack (TPA) e si può quantificare, in prima ipotesi, pari ad un evento ogni 20000 giorni. Si ha, quindi:

P(TPA) = 1/20000 = 0,00005 = 0,005%

Stimiamo, infine, quale sia la probabilità di un incidente aereo su un grattacielo (Plane Crash, PC) nell’ipotesi di un piano terroristico che preveda proprio questa eventualità (TPA). Ovviamente unitaria, giusto? In termini statistici verrà quindi detto che la probabilità di PC dato TPA sarà uguale a:

P(PC|TPA) = 100% = 1

Il problema che ci poniamo, giunti a questo punto, è però opposto. Assunti i dati precedenti, qual era la probabilità che esistesse un piano di attacco terroristico una volta avvenuto il primo impatto sulle Twin Tower? Qual era, cioè, la probabilità di TPA dato PC [2]?

Il teorema di Bayes ci viene in aiuto e ci dice che, successivamente al primo impatto sulla torre NORD, la probabilità giornaliera, stimata inizialmente allo 0,005%, collassa e si trasforma nel ben più cospicuo 38,5%. Infatti [3]:

Tale risultato non fornisce, tuttavia, la prova incontrovertibile fosse in atto un attacco terroristico. Intendiamoci, circa 40% rende sicuramente credibile lo scenario TPA ma non lo trasforma in certezza statistica.

Gli aerei in gioco l’11 settembre, però, furono due e non uno soltanto. Dopo il primo attacco abbiamo detto che:

P(TPA) = 0,005%   diventa   P(TPA) = 38,5%

Con il secondo schianto la possibilità diventa certezza statistica. Facendo fare al teorema di Bayes un ulteriore giro di valzer, si ottiene infatti:

La reale percezione di attacco terroristico che avemmo dopo il secondo impatto sulla torre SUD risulta, quindi, perfettamente allineata con quanto il teorema di Bayes prevede.

Come si vede, il teorema di Bayes è uno strumento potentissimo che consente di discriminare ciò che è credibile da eventi solo astrattamente possibili.

Questo strumento, mi riferisco al teorema di Bayes, si rivela efficientissimmo anche (forse soprattutto) in ambito affidabilistico/tecnologico poiché i dati di tasso di guasto degli apparecchi presenti nelle più diffuse banche dati sono non condizionati.

Constato tuttavia come sia ancora molto poco praticata la contestualizzazione bayesiana in ambito affidabilistico (operazione che, in ambito medico, è invece molto studiata).

Concludo dicendo che sarebbe sempre importante aggiornare i dati in senso bayesiano. Ciò consentirebbe di  inquadrarli in base alle conoscenze che si possiedono in relazione all’evento che si vuole modellare.

[1] L’esempio presentato così come le probabilità calcolate sono tratte da: Silver N. (2013). Il segnale e il rumore. Arte e scienza della previsione. Fandango Ed.

[2]  In ambito sanitario l’equivalenza è molto più comprensibile e si può risolvere con una domanda: “Poiché tutti i malati di vaiolo hanno il viso con macchie rosse diffuse, un bimbo che ha macchie rosse diffuse sul viso è ammalato di vaiolo?”

[3] Facendo le assunzioni di Nate Silver, e cioè che APC e TPA siano eventi tra loro indipendenti e che , si può concludere che 

UPDATE DEL 15/09/2019

Un caro amico, Andrea Rotella, mi fa notare che le ipotesi APC e TPA di Nate Silver sono equivalenti  e conducono a risposte identiche.

Per rispondere a lui e cercare di risolvere la questione devio dalla visione argentea.

Riporto quindi un approccio differente che tiene conto dell’accoppiamento tra i piani d’attacco 1 e 2 (nell’ipotesi TPA), a cui assegno una correlazione 0,9 (potrebbe pure essere unitaria), e della totale indipendenza della frequenza nel caso accidentale (caso APC): in quest’ultimo caso la frequenza n+1, dato l’incidente n, sarà sempre uguale e pari 0,00008 [1/giorni].

Devo ancora chiarirmi alcune cose, non tutto è ancora completamente cristallino, ma il risultato di questo approccio lo riporto nella figura seguente.

Alla fine Bayes, implementando un secondo giro, risponde e dirà che:

• l’ipotesi di due incidenti nel medesimo giorno causati da un piano d’attacco terroristico è pari al 100%;
• l’ipotesi di due incidenti nel medesimo giorno generati dal puro caso è dello 0%.