Delle lampadine, dei cuscinetti a rulli e del “paradosso dell’ispezione”

Ci siamo mai chiesti perché le lampadine che acquistiamo al Brico durino generalmente di più di quanto dichiarato? E perché, quando visitiamo una città, sperimentiamo tempi d’attesa dei mezzi pubblici (tram, metropolitane, ecc) spesso maggiori rispetto a quelli medi dichiarati dal gestore del servizio?

La cosa potrebbe continuare in ambiti più tecnici discutendo dei tempi di missione di cuscinetti volventi, interruttori, pompe, ventilatori, motori elettrici, ecc.

Insomma tutto l’universo tecnologico che ci circonda tende ad evidenziare trend di durata difformi da quelli medi dichiarati, calcolati (o calcolabili).

Attenzione, non discuto di situazioni “ballerine”: durate un po’ maggiori (a volte) un po’ minori (in altri casi) che tra loro si compensano, ma di vite a guasto percepite spesso più ampie rispetto a quanto ci si attenderebbe.

Cos’è quindi che congiura nel farci acquistare lampadine, calcolatrici, cuscinetti a rulli conici [1] che vivono più a lungo del loro valor medio oppure nel farci incolonnare nella fila più lenta al supermarket?

La soluzione dell’arcano passa dalla statistica, in generale, e dalla soluzione del “paradosso dell’ispezione”, in particolare.

Cercherò di spiegarmi aiutandomi con il classico esempio della fermata di un autobus cittadino, indicando con “X” l’arrivo previsto del bus e con il trattino “-“ equivalente a cinque minuti d’intervallo d’attesa. Immaginiamo una situazione nella quale il tempo medio di attesa sia di 15 minuti. Avremo qualcosa di assimilabile al seguente schema:

ꝏ… – X – – – X – – – X – – – X – – – X – – – X – – – X – …

Nel caso reale invece, soprattutto in presenza di un’alta dispersione degli arrivi (dovuta, per esempio, ad un traffico caotico, a corsie preferenziali intasate da autoveicoli privi di titolo, ecc. [2]) si potrebbe creare uno scenario di questo tipo:

ꝏ… – X – X – X – – – – – – – – – X – – X – X – – – – – X …

Cosa li differenzia? La media complessiva di attesa è uguale in entrambi i casi (15 minuti), ciò che cambia è la quantità di tempo di chi sperimenterà situazioni di disagio. Nel secondo caso, facendo l’ipotesi di un afflusso costante di persone alle banchine d’attesa, ci saranno molte più persone che attenderanno tempi superiori alla media rispetto a quelle che si gioveranno delle partenze anticipate.

Sarà quindi molto più probabile il dover attendere di più l’autobus che il viceversa.

Da qui il paradosso, che paradosso non è: molte persone avranno atteso molto, poche avranno atteso poco.

Teniamo conto di questo importante aspetto quando faremo inferenze di affidabilità basate su un’unica rilevazione, ok?

Asserire che un apparecchio possiede un MTBM (Mean Time Beetween Maintenance) di un anno perché si è guastato, nel corso della durata del mio incarico, dopo un anno, non dice molto. Facendo l’ipotesi di tasso di guasto costante, ci sono buone probabilità che sia io sia il mio incarico appartengano al periodo “lungo” e “fortunato”, diciamo così.

E quindi? Le poche aziende (davvero poche) che creano banche dati affidabilistiche interne sono composte da ingenui?

Certamente NO.

Il calcolo di tassi di guasto dei propri asset, soprattutto se critici, è di fondamentale importanza. Soprattutto se successivamente mediati con banche dati affidabili e rielaborati alla luce del teorema di Bayes.

La manutenzione… questa sconosciuta… 🙂

Alla prossima!

Ciao

Marzio

APPENDICE (un pochino complicata): per chi volesse approfondire l’argomento suggerisco un qualsiasi testo di statistica e affidabilità (come questo per esempio). Venendo alla dimostrazione di quanto asserito, ipotizzando un processo di rinnovo di tipo Poisson, se formalmente indichiamo con λ il tasso di guasto di un componente (inverso dell’MTTF nel solo caso di componenti non riparabili e con rateo costante) e con t la coordinata temporale in corrispondenza della quale ha luogo l’ispezione, si ha:

Dato che E[δt+γt] è maggiore di 1/λ (=MTTF alle condizioni date) per t > 0, il divario medio tra i due eventi, appena prima e appena dopo il tempo fisso t, è maggiore del divario medio tra tutti gli eventi nel processo. CVD… era tantissimo tempo che volevo chiudere un post con questo acronimo… 

Post Scriptum – A chi voglia approfondire l’argomento evitando eccessive formalizzazioni matematiche consiglio questo bel testo divulgativo, scritto da Amir Aczel e pubblicato nel 2005 da Raffaello Cortina Editore.

_______

[1]  Chi tra noi non conserva a casa, magari nel sottoscala, una bella coppia di cuscinetti a rulli conici?

[2] Ogni riferimento al traffico stradale della nostra straordinaria Capitale è ovviamente “statistico”.

© Marzio Marigo

 

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2 pensieri riguardo “Delle lampadine, dei cuscinetti a rulli e del “paradosso dell’ispezione””

  1. Ciao Marzio. Manutenzione ed affidabilità andrebbero guardate “dal lato destro” dei grafici tasso di guasto-tempo, magari con il filtro delle condizioni ambientali.

    1. Certamente si. Esistono tuttavia task manutentivi implementabili anche in condizioni di tasso costante. Certo, sarebbe necessario verificare preliminarmente che il parametro forma di Weibull sia almeno unitario. Ma ormai la costanza di lambda pare sia diventato un “a priori” mai contestato.
      Ma da confutare.
      Credo molto più spesso di quanto si ritenga.
      Ciao e grazie.
      Marzio

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